Aturan pencacahan, permutasi dan kombinasi pada masalah kontekstual
Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi pada masalah kontekstual
1. Aturan Pencacahan
a. Aturan Pengisian Tempat
Jika persoalan pertama dapat diselesaikan dengan a cara yang berlainan dan persoalan kedua dapat diselesaikan dengan b cara yang berlainan, maka persoalan pertama dan kedua dapat diselesaikan dengan a x b cara.
b. Notasi Faktorial
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:
n ! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x n atau
n ! = n x (n – 1) x (n – 2) x … x 3 x 2 x 1
lambang atau notasi n ! dibaca sebagai n faktorial untuk n>2
Contoh :
Hitunglah nilai dari:
1. 6!
2. 3! x 2!
Penyelesaian:
1. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
2. 3! x 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1= 12
2. Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan, untuk menghitung banyak permutasi n unsur jika disusun berdasarkan k unsur k.
a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Contoh :
Akan disusun berjajar bendera negara-negara: Inggris, Prancis, Jerman, Belanda, Spanyol dan Yunani. Tentukan banyaknya cara memasang bendera tersebut jika bendera Inggris dan Prancis harus selalu berdampingan !
Penyelesaian:
Banyaknya negara ada 6 tetapi Inggris dan Prancis harus berdampingan sehingga Inggris dan Prancis dihitung 1. Jadi banyaknya negara ada 5,
untuk menyusun benderanya 5P5 = 5!
Inggris dan Prancis dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 5! x 2!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
= 240
b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Contoh :
1. Berapa banyak kata dapat disusun dari kata AGUSTUS?
2. Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 8?
Penyelesaian:
1. AGUSTUS → banyaknya huruf = 7, banyaknya huruf S = 2, dan banyaknya huruf U = 2
2. 4, 4, 4, 5, 5, 5, 8 → banyaknya angka = 7, banyaknya angka 4 = 3, dan banyaknya angka 5 = 3
c. Permutasi Siklis
Permutasi Siklis merupakan permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Rumus yang biasa digunakan untuk menghitung permutasi siklis yaitu (n-1)!
contoh :
1. Terdapat 5 orang calon presiden di tahun 2014 sedang berdiskusi, mereka duduk disebuah meja berbentuk lingkaran. Tentukan terdapat berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?
Jawab :
Cara untuk menyusun kursi para calon presiden yaitu (5-1)!=4!=4x3x2x1=24 cara
3. Kombinasi
Kombinasi sama halnya dengan permutasi, yang menjadikan mereka berbeda yaitu pada permutasi memperhatikan urutan sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan.
Contoh 1 :
Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
Penyelesaian:
a. Karena banyaknya pemain putra ada 8 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
8! 8 . 7 . 6 ! 56
8C2 =———— = ———— = —— = 28
(8 - 2)! 2! 6! . 2. 1 2
b. Karena banyaknya pemain putri ada 6 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
6! 6 . 5 . 4 ! 30
6C2 =———— = ———— = —— = 15
(6 - 2)! 2! 4! . 2. 1 2
c. Ganda campuran berarti 8 putra diambil satu dan 6 putri diambil 1, maka:
8! 6! 8! 6!
8C1 x 6C1 =———— x ———— = —— x —— = 8 x 6 = 48
(8 - 1)! 1! (6 - 1)! 1! 7! 5!
Contoh 2 :
Pada sebuah acara silaturahmi dihadiri oleh 60 orang, terdapat berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?
jawab:
Ketika 60 orang tersebut saling berjabat tangan maka satu orang akan berjabat tangan dengan 59 orang. Akan tetapi jika A berjabat tangan dengan B akan sama halnya jika B berjabat tangan dengan A maka harus dibagi 2 sehingga jumlah jabat tangannya yaitu 59×60/2=1770 jabat tangan.
1. Aturan Pencacahan
a. Aturan Pengisian Tempat
Jika persoalan pertama dapat diselesaikan dengan a cara yang berlainan dan persoalan kedua dapat diselesaikan dengan b cara yang berlainan, maka persoalan pertama dan kedua dapat diselesaikan dengan a x b cara.
b. Notasi Faktorial
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:
n ! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x n atau
n ! = n x (n – 1) x (n – 2) x … x 3 x 2 x 1
lambang atau notasi n ! dibaca sebagai n faktorial untuk n>2
Contoh :
Hitunglah nilai dari:
1. 6!
2. 3! x 2!
Penyelesaian:
1. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
2. 3! x 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1= 12
2. Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan, untuk menghitung banyak permutasi n unsur jika disusun berdasarkan k unsur k.
a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Contoh :
Akan disusun berjajar bendera negara-negara: Inggris, Prancis, Jerman, Belanda, Spanyol dan Yunani. Tentukan banyaknya cara memasang bendera tersebut jika bendera Inggris dan Prancis harus selalu berdampingan !
Penyelesaian:
Banyaknya negara ada 6 tetapi Inggris dan Prancis harus berdampingan sehingga Inggris dan Prancis dihitung 1. Jadi banyaknya negara ada 5,
untuk menyusun benderanya 5P5 = 5!
Inggris dan Prancis dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 5! x 2!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
= 240
b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Contoh :
1. Berapa banyak kata dapat disusun dari kata AGUSTUS?
2. Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 8?
Penyelesaian:
1. AGUSTUS → banyaknya huruf = 7, banyaknya huruf S = 2, dan banyaknya huruf U = 2
2. 4, 4, 4, 5, 5, 5, 8 → banyaknya angka = 7, banyaknya angka 4 = 3, dan banyaknya angka 5 = 3
c. Permutasi Siklis
Permutasi Siklis merupakan permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Rumus yang biasa digunakan untuk menghitung permutasi siklis yaitu (n-1)!
contoh :
1. Terdapat 5 orang calon presiden di tahun 2014 sedang berdiskusi, mereka duduk disebuah meja berbentuk lingkaran. Tentukan terdapat berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?
Jawab :
Cara untuk menyusun kursi para calon presiden yaitu (5-1)!=4!=4x3x2x1=24 cara
3. Kombinasi
Kombinasi sama halnya dengan permutasi, yang menjadikan mereka berbeda yaitu pada permutasi memperhatikan urutan sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan.
Contoh 1 :
Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
Penyelesaian:
a. Karena banyaknya pemain putra ada 8 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
8! 8 . 7 . 6 ! 56
8C2 =———— = ———— = —— = 28
(8 - 2)! 2! 6! . 2. 1 2
b. Karena banyaknya pemain putri ada 6 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
6! 6 . 5 . 4 ! 30
6C2 =———— = ———— = —— = 15
(6 - 2)! 2! 4! . 2. 1 2
c. Ganda campuran berarti 8 putra diambil satu dan 6 putri diambil 1, maka:
8! 6! 8! 6!
8C1 x 6C1 =———— x ———— = —— x —— = 8 x 6 = 48
(8 - 1)! 1! (6 - 1)! 1! 7! 5!
Contoh 2 :
Pada sebuah acara silaturahmi dihadiri oleh 60 orang, terdapat berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?
jawab:
Ketika 60 orang tersebut saling berjabat tangan maka satu orang akan berjabat tangan dengan 59 orang. Akan tetapi jika A berjabat tangan dengan B akan sama halnya jika B berjabat tangan dengan A maka harus dibagi 2 sehingga jumlah jabat tangannya yaitu 59×60/2=1770 jabat tangan.
Komentar
Posting Komentar