Menganalisis titik, garis dan bidang pada geometri dimensi 3
Menganalisis titik, garis dan bidang pada geometri dimensi 3
Titik dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran) sehingga dapat dikatakan titik tidak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi huruf kapital..
Garis mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan himpunan titik - titik yang hanya memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu..
Bidang merupakan himpunan titik - titik yang memiliki ukuran panjang dan luas, sehingga dapat dikatakan bidang berdimensi dua.
Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang
Titik Terletak pada Garis : Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis
Titik di Luar Garis : Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh garis.
Titik Terletak pada Bidang : Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α
Titik di Luar Bidang : Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α.
Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain
Dua Garis Berpotongan : Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit
Dua Garis Sejajar : Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan
Dua garis bersilangan : Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.
Jarak Titik ke Titik
Jarak dari titik A dan titik B dapat dicari dengan cara menghubungkan titik A ke titik B sehingga terjadi sebuah garis. Jarak kedua titik tersebut ditentukan oleh panjang garis itu. Jadi, jarak antara dua titik merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.
Contoh Soal 1 :
Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak:
a) titik W ke titik P
b) titik W ke titik X
c) titik W ke titik Q
d) titik T ke titik X
Penyelesaian:
a) titik W ke titik P merupakan panjang garis PW. Garis PW merupakan panjang diagonal sisi kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras:
PW =√(TW2 + PT2)
PW =√(82 + 82)
PW =√(64 + 64)
PW =√128
PW =8√2
b) titik W ke titik X merupakan panjang garis WX. Panjang PX sama dengan setengah panjang rusuk PQ, maka:
PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
WX =√(PW2 + PX2)
WX =√((8√2)2 + 42)
WX =√(128 + 16)
WX =√144
WX =12 cm
c) titik W ke titik Q merupakan panjang garis QW. Garis QW merupakan panjang diagonal ruang kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras:
QW =√(PW2 + PQ2)
QW =√((8√2)2 + 82)
QW =√(128 + 64)
QW =√192
QW =8√3 cm
d) titik T ke titik X merupakan panjang garis TX. Panjang PX sama dengan setengah panjang rusuk PQ, maka:
PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
TX =√(PT2 + PX2)
TX =√(82 + 42)
TX =√(64 + 16)
TX =√80
TX =4√5 cm
Jarak Titik ke Garis
Jarak antara titik A dan garis g dapat dengan membuat garis dari titik A ke garis g, memotong garis di titik P sehingga terjadi garis AP yang tegak lurus garis g. Jarak titik A ke garis g adalah panjang dari AP. Jadi, jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu.
Contoh Soal 2 :
Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak:
a) titik X ke garis ST
b) titik X ke garis RT
Penyelesaian:
a) titik X ke garis ST merupakan panjang garis dari titik X ke titik M (garis MX) yang tegak lurus dengan garis ST, seperti gambar berikut.
ST = PW dan MT = ½ ST = ½ PW = 4√2
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
MX =√(TX2 – MT2)
MX =√((4√5)2 – (4√2)2)
MX =√(80 – 32)
MX =√48
MX =4√3 cm
b) titik X ke garis RT merupakan panjang garis dari titik X ke titik N (garis NX) yang tegak lurus dengan garis RT, seperti gambar berikut.
RT = QW dan NT = ½ RT = ½ QW = 4√3
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
NX =√(TX2 – NT2)
NX =√((4√5)2 – (4√3)2)
NX =√(80 – 48)
NX =√32
NX =4√2 cm
Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik A ke bidang α dapat dicari dengan menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Jadi, jarak suatu titik ke suatu bidang adalah jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang tersebut.
Contoh Soal 3 :
Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak titik X ke bidang RSTU
Penyelesaian:
titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis dari titik X ke titik Z (garis MX) yang tegak lurus dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm
Titik dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran) sehingga dapat dikatakan titik tidak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi huruf kapital..
Garis mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan himpunan titik - titik yang hanya memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu..
Bidang merupakan himpunan titik - titik yang memiliki ukuran panjang dan luas, sehingga dapat dikatakan bidang berdimensi dua.
Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang
Titik Terletak pada Garis : Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis
Titik di Luar Garis : Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh garis.
Titik Terletak pada Bidang : Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α
Titik di Luar Bidang : Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α.
Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain
Dua Garis Berpotongan : Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit
Dua Garis Sejajar : Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan
Dua garis bersilangan : Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.
Jarak Titik ke Titik
Jarak dari titik A dan titik B dapat dicari dengan cara menghubungkan titik A ke titik B sehingga terjadi sebuah garis. Jarak kedua titik tersebut ditentukan oleh panjang garis itu. Jadi, jarak antara dua titik merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.
Contoh Soal 1 :
Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak:
a) titik W ke titik P
b) titik W ke titik X
c) titik W ke titik Q
d) titik T ke titik X
Penyelesaian:
a) titik W ke titik P merupakan panjang garis PW. Garis PW merupakan panjang diagonal sisi kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras:
PW =√(TW2 + PT2)
PW =√(82 + 82)
PW =√(64 + 64)
PW =√128
PW =8√2
b) titik W ke titik X merupakan panjang garis WX. Panjang PX sama dengan setengah panjang rusuk PQ, maka:
PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
WX =√(PW2 + PX2)
WX =√((8√2)2 + 42)
WX =√(128 + 16)
WX =√144
WX =12 cm
c) titik W ke titik Q merupakan panjang garis QW. Garis QW merupakan panjang diagonal ruang kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras:
QW =√(PW2 + PQ2)
QW =√((8√2)2 + 82)
QW =√(128 + 64)
QW =√192
QW =8√3 cm
d) titik T ke titik X merupakan panjang garis TX. Panjang PX sama dengan setengah panjang rusuk PQ, maka:
PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
TX =√(PT2 + PX2)
TX =√(82 + 42)
TX =√(64 + 16)
TX =√80
TX =4√5 cm
Jarak Titik ke Garis
Jarak antara titik A dan garis g dapat dengan membuat garis dari titik A ke garis g, memotong garis di titik P sehingga terjadi garis AP yang tegak lurus garis g. Jarak titik A ke garis g adalah panjang dari AP. Jadi, jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu.
Contoh Soal 2 :
Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak:
a) titik X ke garis ST
b) titik X ke garis RT
Penyelesaian:
a) titik X ke garis ST merupakan panjang garis dari titik X ke titik M (garis MX) yang tegak lurus dengan garis ST, seperti gambar berikut.
ST = PW dan MT = ½ ST = ½ PW = 4√2
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
MX =√(TX2 – MT2)
MX =√((4√5)2 – (4√2)2)
MX =√(80 – 32)
MX =√48
MX =4√3 cm
b) titik X ke garis RT merupakan panjang garis dari titik X ke titik N (garis NX) yang tegak lurus dengan garis RT, seperti gambar berikut.
RT = QW dan NT = ½ RT = ½ QW = 4√3
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
NX =√(TX2 – NT2)
NX =√((4√5)2 – (4√3)2)
NX =√(80 – 48)
NX =√32
NX =4√2 cm
Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik A ke bidang α dapat dicari dengan menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Jadi, jarak suatu titik ke suatu bidang adalah jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang tersebut.
Contoh Soal 3 :
Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak titik X ke bidang RSTU
Penyelesaian:
titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis dari titik X ke titik Z (garis MX) yang tegak lurus dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm
Komentar
Posting Komentar